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42,人類破解宇宙生命終極答案,竟是3個整數立方和

http://finance.sina.com   2019年09月08日 19:16   

  來源:新智元

  [新智元導讀]42,可以寫成3個整數的立方和!這是數學界的一大突破,由MIT和布里斯托大學的數學家共同發現,他們以“生命、宇宙以及一切”的網頁標題,公佈了這一成果。

  人類第一次將42寫成了3個整數的立方和!

  昨天,有人在 MIT 數學系的網站上貼出一個等式,網頁很簡單,但沒給出結果:

  (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

  等於 42!

  在推特上,菲爾茲獎得主高爾斯也轉發了這個結果。

  這是一個大新聞,因爲至此,下面這句話成爲了定理:

  除了 9n±4 型自然數外,所有 100 以內的自然數都能寫成三個整數的立方和。

  是的,在此之前,42是100以內最後一個尚未找到立方和的整數解的自然數。現在,這個解也找到了。

  找到這個等式的數學家是來自布里斯托大學的 Andrew Booker 和來自麻省理工學院的Andrew Sutherland。

  Andrew Booker 是布里斯托大學數學教授

Andrew Sutherland是MIT數學系首席研究科學家Andrew Sutherland是MIT數學系首席研究科學家

  今年3月, Andrew Booker 找到了33的立方和整數解,同樣引起數學界轟動。昨天,Andrew Booker穿着印有“42”的T恤接受採訪,解釋了他們的研究過程。

  在被問到“你們解決這個問題後,有沒有興奮得跳起來”時,Booker說:“我這次倒是沒有跳起來,但是你知道,解決一個三、四十年來一直懸而未決的問題,實在是令人很滿足!當然,這個論題本身還沒有解決,下一個數字是114……”

  有意思的是,兩位數學家公佈這一結果的網頁標題是“生命、宇宙以及一切”(Life, the Universe and Everything)。

MIT的網頁截圖MIT的網頁截圖

  在道格拉斯·亞當斯著名的《銀河系漫遊指南》系列中,42是“生命、宇宙以及一切的終極答案”。

  茫茫宇宙中,一個 “具有超級智慧的泛維度種族” 對關於生命意義的無休止的爭論感到厭煩了,他們決定一勞永逸地解決這個問題。他們建造了宇宙一切空間和時間中第二強大的電腦 “沉思”,向它尋求 “關於生命、宇宙,以及一切的終極答案”。

  整整 750 萬年後,“沉思” 給出了答案 —42。

  面對這個玄妙的答案,泛維度種族需要回過頭先弄明白生命宇宙以及一切的終極問題,方能理解答案。但 “沉思” 不能勝任此項艱鉅的任務,它說:“你們需要一臺能夠計算出這個終極答案的電腦,這臺電腦具有無限和微妙的複雜性,以至於有機生命本身將會成爲操作母體的一部分。你們自身也會以一種新的生命形式投入到這臺電腦中,去操控爲期 1000 萬年的程序。我將會爲你們設計出這臺電腦,並且我已爲它取好名字。它將會被稱爲…… 地球。”

  癡迷、癡狂!人類尋找三立方數和簡史

  人類爲什麼對這樣一個等式如此着迷呢?

  這個問題至少可以追溯到 1825 年,數學家想知道,如果給定整數 K,是否存在整數 X、Y、Z,滿足:

  X^3 + Y^3 + Z^3 = K。

  數論領域下有一大分支叫“丟番圖方程”:

  x^3+y^3+z^3=k 是否存在整數解是丟番圖方程中的一個問題。

  丟番圖 (Diophantine) 是一位古希臘的大數學家,被認爲是第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。

  丟番圖和他的墓誌銘

  其中丟番圖最著名的事蹟可能就是他的墓誌銘 —— 曾經連續多年出現在各地中小學生的寒假作業擴展訓練上:

  墳中安葬着丟番圖。

  多麼令人驚訝,它忠實地記錄了所經歷的道路。

  上帝給予的童年佔六分之一,

  又過十二分之一,兩頰長鬍,

  再過七分之一,點燃起結婚的蠟燭。

  五年之後天賜貴子,

  可憐遲到的寧馨兒,享年僅及其父之半,便進入冰冷的墓。

  悲傷只有用數論的研究去彌補,

  又過四年,他也走完了人生的旅途。

  回到丟番圖方程,由於立方數模 9 同餘 0、1 或 - 1,三立方數和模 9 不可能同餘 4 或 5,因而這是整數解存在的一個必要條件。因此9k+4或9k+5這種形式的整數不能寫成三個立方數之和。然而,對於該條件是否同時爲充分條件目前仍未有定論。

  1992年,牛津大學的Roger Heath-Brown提出猜想,即其它所有整數都可以用無窮多種不同的方式寫成三個立方體的和。在那以後,數學家們似乎已經被Heath-Brown的論點所說服,然而,找到把任何特定的數寫成三個立方體之和的方法仍然是一個難題。

  2000年,哈佛大學的Noam Elkies提出了一個實用的算法來尋找這類解。Elkies和其他數學家使用類似的方法,成功地爲許多較小的整數找到了立方和的整數解。

  2015年,數學家Tim Browning錄製了一段視頻,解釋了這個問題。在那個時候,只有33、42和74這三個小於100的整數尚未找到解。這段視頻讓更多的人注意到了這個問題,並帶來了一系列的突破。

  Tim Browning的視頻讓更多數學家關注這個問題

  受到這段視頻的啓發,幾個月後,Sander Huisman找到了74的立方和整數解:

  Tim Browning再次錄製了一段關於Huisman解決74的視頻。另一位數學家,即布里斯托大學的Andrew Booker看到了這段視頻,決定解決這個問題。

  他提出了一種新的算法,這種算法能更有效地找到一個特定數字的解。2019年2月27日,Booker公佈了33的立方和整數解。

  昨天,42也被解決了!Andrew Sutherland和Andrew Booker同時更新他們的主頁,報告了42的立方和的整數解:

  這意味着100以內的自然數的立方和的整數解全部找到!

  1000以內還沒找到解的整數只剩下:114,165,390,579,627,633,732,906,921 和 975。

  100 以內三立方和的非零解全表

  最後,附上 100 以內三立方和的非零解全表(多種寫法選取其中一個):

  1 = (-1)³ + 1³ + 1³

  2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³

  3 = 1³ + 1³ + 1³

  4 不可能

  5 不可能

  6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³

  7 = 104³ + 32³ + (-105)³

  8 = (-1)³ + 1³ + 2³

  9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³

  10 = 1³ + 1³ + 2³

  11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³

  12 = 7³ + 10³ + (-11)³

  13 不可能

  14 不可能

  15 = (-1)³ + 2³ + 2³

  16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³

  17 = 1³ + 2³ + 2³

  18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³

  19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³

  20 = 1³ + (-2)³ + 3³

  21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³

  22 不可能

  23 不可能

  24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³

  25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³

  26 = 297³ + 161³ + (-312)³

  27 = (-1)³ + 1³ + 3³

  28 = 14³ + 13³ + (-17)³

  29 = 1³ + 1³ + 3³

  30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³

  31 不可能

  32 不可能

  33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³

  34 = (-1)³ + 2³ + 3³

  35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³

  36 = 1³ + 2³ + 3³

  37 = 50³ + 37³ + (-56)³

  38 = 1³ + (-3)³ + 4³

  39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³

  40 不可能

  41 不可能

  42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

  43 = 2³ + 2³ + 3³

  44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³

  45 = 2³ + (-3)³ + 4³

  46 = (-2)³ + 3³ + 3³

  47 = 6³ + 7³ + (-8)³

  48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³

  49 不可能

  50 不可能

  51 = 602³ + 659³ + (-796)³

  52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³

  53 = (-1)³ + 3³ + 3³

  54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³

  55 = 1³ + 3³ + 3³

  56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³

  57 = 1³ + (-2)³ + 4³

  58 不可能

  59 不可能

  60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³

  61 = 845³ + 668³ + (-966)³

  62 = 3³ + 3³ + 2³

  63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³

  64 = (-1)³ + 1³ + 4³

  65 = 91³ + 85³ + (-111)³

  66 = 1³ + 1³ + 4³

  67 不可能

  68 不可能

  69 = 2³ + (-4)³ + 5³

  70 = 11³ + 20³ + (-21)³

  71 = (-1)³ + 2³ + 4³

  72 = 7³ + 9³ + (-10)³

  73 = 1³ + 2³ + 4³

  74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³

  75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³

  76 不可能

  77 不可能

  78 = 26³ + 53³ + (-55)³

  79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³

  80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³

  81 = 10³ + 17³ + (-18)³

  82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³

  83 = (-2)³ + 3³ + 4³

  84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³

  85 不可能

  86 不可能

  87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³

  88 = 3³ + (-4)³ + 5³

  89 = 6³ + 6³ + (-7)³

  90 = (-1)³ + 3³ + 4³

  91 = 364³ + 192³ + (-381)³

  92 = 1³ + 3³ + 4³

  93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³

  94 不可能

  95 不可能

  96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³

  97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³

  98 = 14³ + 9³ + (-15)³

  99 = 2³ + 3³ + 4³

  100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³

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