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來看這兩條有趣悖論,你能否解開其中之謎?

http://finance.sina.com   2020年07月30日 18:32   北京新浪網

  新浪科技訊 北京時間7月31日消息,據國外媒體報道,今年外刊《Quanta》發表了兩條悖論,看讀者們能否解開。這兩條悖論如果細細推敲,其實都站不住腳。但要說明它們究竟爲何站不住腳,又是個很有意思的過程。相信很多讀者在寫長長的回覆時已經發現了這一點。

  悖論1

  第一條悖論描述的是一臺違反了熱力學第二定律的永動機,大致如插圖所示:

  E1 和 E2 爲兩個同心橢圓,焦點分別爲A和B。S1和S2爲兩段圓弧,圓心爲B。由於S1和S2圓心相同,從B點到S1和S2的任意一條連線都是圓的半徑,因此與內表面正交。該圖形爲一個中空物體的橫截面,而該物體是該圖形的旋轉體。該物體的內表面經過鍍銀處理,反射率達100%(或根據實際情況儘可能接近這一比例)。A點和B點處爲兩個由熱電材料製成的小型球形黑體,各有細電線與外部電極相連。整個結構完全密閉。

  要了解更多細節,請點擊原網址 puzzle column。簡單來說,該物體的幾何學性質決定,A點處黑體釋放的所有輻射都會落到B點處黑體上、並被後者100%吸收,因爲A、B兩點都是橢圓E1 和 E2的焦點。然而,B發出的一大部分射線都會落在圓弧S1和S2上、然後被反射回B點。因此,如果開始時該物體各處溫度相同,最終B從A接收到的射線將多於A從B接收到的射線,因此B的溫度會高於A,產生溫度梯度。只要我們將電極連接到電路上,便可利用這一溫度梯度獲取能量。而如果兩個黑體的溫度變得一致了,只需要等上片刻、待上述過程周而復始,我們就能獲得取之不盡、用之不竭的能源了!

  這個“橢圓體悖論”早在1959年便已被人提出,有多種由不同橢圓構成的形式。當然,這個設想並不可行,但儘管多年來已有數篇論文提出駁斥,它偶爾還是會被提上臺面、被人們認真討論一番。

  悖論是錯誤思維習慣的體現。在這個悖論中,我們的主要思想錯誤是,默認現實世界中的問題可以由抽象的幾何學解決。雖然幾何學大部分情況下都很有用,但就像其它數學領域一樣,它總喜歡利用一些理想化的概念,比如設想一個沒有維度的點,即物理學中所謂的“質點”、“點粒子”等。這些抽象概念有時非常有用,比如在引力理論中就發揮了很大作用。我們知道,現實世界中的帶質量物體的行爲並不會與質點完全相同,但可以說大致相同;現實世界中的拋射物也不會嚴格按拋物線運動,但對於各種實際用途來說,已經足夠接近了。而我們已經被這些“差不多”取得的成功案例慣壞了,所以當偶爾遇到近似法失效、理想化得出的結果定性錯誤時,就會呈現爲所謂的悖論。以上描述的橢圓體如果放在一個點粒子的世界中,上述設想完全可以成立,因爲從橢圓的一個焦點發出的所有射線都會被準確反射到另一個焦點上。但只要把點粒子換成現實世界中的物體,無論有多小,這套系統都會失靈,也就意味着“近似法”的失效。在零體積和任何有限物體中都存在着無法逾越的鴻溝。具體可以看以下插圖:

  A點和B點處有兩個大小相同的小球。虛線AP和BP在E1上交於同一點P。現想象有一條射線QP從球體A表面的Q點沿切線方向射出,接觸到E1後,從P點沿PR方向反射出去。根據反射定律,角APQ和角BPR大小相同。角AQP爲直角(因爲QP爲切線),因此角BRP也是直角。因此,金色三角形和紫色三角形爲相似三角形。由於紫色三角形遠大於金色三角形,顯然BR遠長於AQ,而BR和AQ分別爲兩個球體的半徑。因此,射線PR會與B處球體大距離錯過。事實上,由A處物體發出並擊中E1的射線中,顯然有一大部分會錯過B處大小類似的物體,B處物體發出的射線也是同理。因此,不管這兩處物體有多小,前文提到的“A處物體發出的射線會100%被B處物體吸收”的結論在現實世界中都完全不成立。你瞧,我們恰恰是用幾何學破除了由幾何學思維習慣得出的錯誤結論。

  接着往下看,既然兩處物體發出的射線中,有許多都會與對方失之交臂,那這些射線又去了哪兒呢?它們會在物體內壁四處反彈,最終大多數都會被A或B處物體吸收,只有少數射線可能會永遠反彈下去。如果兩個物體溫度相同,最終從A到B的射線數量將與從B到A的射線數量完全相同。我們是如何得知這一點的呢?在這篇論文中,我們建立了一套計算機模型,進行了大量計算,結果顯示兩個方向的射線數量最終會達到一致。

  爲何會產生這樣的結果呢?這背後有一條簡單的原則:可逆性。假如有一條射線從A處發出,在物體內部來回反彈了100次左右,最終以某個角度擊中了B,那麼從B處同一點以同一角度發出的射線也會以反方向走完同一條運動路徑、最終擊中A。因此,如果射線在物體內部的各個方向上都會發生反彈和吸收,A和B最終便會交換數量相同的射線。至於那些從S1或S2反彈回B的射線、或者會永遠反彈下去的射線,我們並不需要擔心。諷刺的是,熱力學第二定律決定了世界的不可逆性,但在微觀層面上,卻又偏偏是可逆性保障了該定律的成立。

  有幾名讀者正確地指出,該悖論對有限物體不成立。還有讀者用示意圖描述了假如A和B爲球體,則A發出的部分射線將與B失之交臂。

  還有一些讀者指出,就算這套設備能運行起來,兩處物體的溫度也會逐漸下降,最終兩者的溫差會降低到零。假如這套設備可行的話,這種說法的確沒錯。但這樣一來,你就要將該設備製作成可開合的樣式,將其打開、恢復到室溫,然後才能重新運作。

  還有讀者提到了量子效應、以及製作完美鏡面的不可能性。這兩個問題也許會降低該設備的效率,但並不是它不成立的理由。

  悖論2

  請想象有如下約定:

  本次專欄問題的答案一定會在五月份發表在《Quanta》雜誌上。

  爲解答這個問題,我們將一週定義爲始於週一、終於週日,五月的每一天都屬於五週中的某一週(一個半周加四個整週)。我們先在此聲明,你無法預測本次專欄的答案會在這五週中的哪一週發表。

  據我們所知,該雜誌的讀者們都很聰明。假設有一名讀者做出瞭如下推理:“假如答案到第四周結束時仍未發表,那麼我就能肯定地預測,它會在第五週發表。而這與前述聲明相矛盾,因此它無法在第五週發表。但如果答案無法在第五週發表,並且直到第三週的週末仍未發表,那麼我就能肯定,它會在第四周發表。因此根據前述原因,它也無法在第四周發表。根據同一邏輯可以證明,答案在第三週、第二週和第一週都無法發表。因此,該專欄的答案根本不可能發表!”

  那麼,這段推理究竟站得住腳嗎?如果站得住或者站不住,原因又分別是什麼呢?假如有那麼一丁點可能性(假設概率爲0.001)、該專欄的答案不會發表(比如因爲新冠疫情、或者金融系統崩潰、無法開展任何商業活動),情況又會如何呢?假設之前說的“一定”變成了“概率爲99%及以上”,結論會有所改變嗎?

  這是一個經典悖論的一種版本,該悖論還有其它形式,如“意外絞刑悖論”或“意外考試悖論”,兩者都與未來的某起無法準確預測時間的事件有關。這些悖論的措辭因爲有些模棱兩可,長時間以來備受批評。因此《Quanta》雜誌在發表該悖論時,先對“一定”的概念作了一番界定。

  然而,有些讀者仍然認爲問題描述含糊不清,並對這種模棱兩可進行了深挖細鑿。如果對以上陳述做點改進,可以說“我在此聲明,你無法通過邏輯正確預測出答案將在五週中的哪一週發表。”還有些讀者指出,該雜誌沒有說明“答案會在2020年五月發表”。雖然沒有明確給出年份,但下一個符合這種週數排列規律的年份將是2026年。對於公佈一道謎題的答案來說,這個時間恐怕太長了些。

  不過,這些反駁都不足以說明這個問題不成立。這類問題總存在含糊不清之處,不僅是因爲問題的措辭,還因爲其中總是暗含着一些假設。如果要把每一點都事無鉅細地說清楚,那謎題看上去就不是謎題、而是一份法律文件了。不過,這個問題中還是有兩點必須澄清,否則就沒有意義了。

  問題中的“一定”是指客觀的、符合邏輯的確定性,是在“所有聲明均爲真”這個假定的基礎上做出的推論,而不僅僅是一種感覺。

  你只有一次機會給出肯定的答案,並且答案必須明確指出哪一週。如果你肯定地說,答案會在某一週發表,結果預測失敗,那麼遊戲就結束了,你不能再進行第二次預測。如果不做這一規定,這個問題就會變得荒謬可笑。

  這個悖論的經典版本(意外絞刑悖論和意外考試悖論)中還暗含着一個假設:每一天結束時都有一個時間段,期間不會執行絞刑或考試。這是由工作和上學時間決定的。而《Quanta》雜誌的文章都是網上發表,故不存在這種限制。但可以假設有一個截止時間,比如每天晚上8點之後、網站不會發表新文章。這樣一來,讀者就有時間對下一週進行預測,而不用擔心文章剛好在自己做出預測的同一時間發表了。

  這個版本的悖論與兩個經典版本在本質上完全相同。我們可以達成共識,前述推論中的第一條是正確的,即如果答案截止到第四周週末的晚上8點仍未發表,則讀者可以確定,它將在第五週發表。然而,接下來針對前三週的歸納推理就站不住腳了。你不能根據未來有可能爲真的情況、對過去進行推斷。換句話說,雖然“若答案到第四周末仍未發表,則必在第五週發表”的確是事實,但這一點與你在月初、甚至第一週末、第二週末或第二週末所知的情況毫無關係。一直到第四周結束時,你才能肯定答案在前四周裏均未發表。因此作者要想回避這個悖論,只需要利用某種讀者不知道的隨機算法決定在哪周發表答案即可。

  有兩名讀者考慮了一種網站發表文章沒有時間限制的情況,並給出了一種很有創意的解決方案。他們的論證還是站得住腳的,只有一個缺陷。他們指出,文章可以在第四周結束時的最後一瞬間發表、也可以在第五週剛開始的頭一刻發表。假如是前一種情況,那麼讀者不管在第四周多晚時預測文章會在第五週發表、該預測都是錯的;類似地,假如讀者在第五週剛開始的一瞬間預測文章將在第五週發表,該預測同樣無效,因爲文章在預測的同時已經發表了。這番論證非常機智!只有一個缺陷:必須就每週結束時的最後一刻和開始時的頭一刻達成共識,無論是一分鐘、一秒鐘、一毫秒還是一納秒,都必須是一個離散的時間。我們不能將時間當成一種連續的存在,否則就會陷入持槍決鬥那樣的境地,雙方都想讓自己掏槍射擊(一方是文章發表,另一方則是做出預測)的時間比對方更接近午夜。事實上,真實的情況可能更像膽小鬼遊戲,因爲雙方在等待時都會屏息凝神、戰戰兢兢。這種情境想象起來挺有趣的,但還好不用變成現實。

  (還有人提出,假如文章剛好在週日和次週週一之間的午夜時分發表,那麼就很難說這篇文章究竟是在哪一週發表的了。但這個論證是錯誤的。因爲從傳統意義上來說,午夜指的是次日的開始。)

  至於這個問題的最後一部分,即假如將“一定”定義爲“概率大於99%”,作者之所以加上了這麼一條,是因爲我們知道在現實世界中,沒有什麼事情是百分之百確定的。出於實際目的考慮,我們說到“一定”時,往往是忽略了那些概率極低的意外情況發生的可能性。本文所說的情況並不會受到影響,因爲給定的文章無法發表的概率太小、僅爲0.001,文章發佈的概率顯然遠高於這一數字。(葉子)

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